Fatorar 360
Fatoração em primos: 2³ × 3² × 5. Contagem de fatores: (3+1)(2+1)(1+1) = 24 fatores. Soma dos fatores: 1170. Todos os fatores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
Calculadora de Fatores - Calculadora online grátis
Encontre todos os fatores de um número inteiro positivo, além da fatoração em números primos. Os fatores aparecem em álgebra, teoria dos números, simplificação de frações e cálculo de MMC/MDC.
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Total factors
12
Number is composite
Sum of factors
195
All factors
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Prime factorisation
72 = 2^3 × 3^2
Expanded: 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Entenda: Calculadora de Fatores
Fatores e fatoração em primos são centrais na teoria elementar dos números e usados em toda a matemática - desde a simplificação de frações até o cálculo de MMC/MDC, resolução de equações diofantinas, simplificação de raízes quadradas e até mesmo a criptografia moderna (a criptografia RSA se baseia no fato de que fatorar números compostos muito grandes é computacionalmente difícil). Para estudantes do 5º ao 10º ano na Índia, problemas de fatores aparecem em exames estaduais e testes competitivos como Olimpíadas, NTSE e exames de admissão. Esta calculadora mostra tanto a lista completa de fatores quanto a fatoração em primos na forma p₁^a₁ × p₂^a₂ × ...
O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro positivo maior que 1 tem uma fatoração em primos única. 360 = 2³ × 3² × 5 - nenhuma outra decomposição em primos existe. Essa unicidade fundamenta muitos métodos da teoria dos números. O número de fatores de n é determinado por sua fatoração em primos: se n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ, a contagem total de fatores é (a₁+1)(a₂+1)...(aₖ+1). Assim, 360 tem (3+1)(2+1)(1+1) = 24 fatores. Útil para entender por que certos números (números altamente compostos como 12, 24, 36, 60, 120, 360, 720, 5040) têm uma quantidade inusitadamente grande de fatores e aparecem em sistemas de unidades e padrões de arredondamento.
Como usar Calculadora de Fatores em 2 passos
Digite um número inteiro positivo.
Veja a lista completa de fatores e a fatoração em números primos.
Como funciona Calculadora de Fatores
A divisão por tentativa até √n encontra todos os pares de fatores de forma eficiente. A fatoração em primos retira primeiro os menores primos - uma vez que você tenha dividido todos os 2, o resultado é ímpar; depois tente 3, 5, 7… até que o que resta seja 1 ou primo.
Formula
n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ (unique prime factorisation)
- pᵢFator primo
- aᵢPotência desse primo
Como Calculadora de Fatores chega ao resultado
Encontrar todos os fatores por divisão por tentativa: verifique cada número inteiro de 1 a √n. Se d divide n exatamente, então tanto d quanto n/d são fatores. Isso emparelha os fatores simetricamente em torno de √n. Por exemplo, n = 36: verifique 1 (fator; par 36), 2 (fator; par 18), 3 (fator; par 12), 4 (fator; par 9), 5 (não), 6 (fator; par 6). Pare. Fatores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (nove fatores).
Fatoração em primos: divida repetidamente pelo menor primo que divide n, depois passe para o próximo menor. Para 360: 360/2=180, 180/2=90, 90/2=45 (não há mais 2, três 2s). 45/3=15, 15/3=5 (dois 3s). 5/5=1 (um 5). Então 360 = 2³ × 3² × 5. Sempre fatore até √n; se o restante for maior que 1 após a divisão por tentativa até √n, o restante é ele próprio primo.
Fórmula da contagem de fatores: se n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ na fatoração canônica em primos, então n tem (a₁+1)(a₂+1)...(aₖ+1) fatores. Fórmula da soma dos fatores: σ(n) = ∏(p^(aᵢ+1) - 1)/(p - 1). Essas fórmulas compactas são estudadas na teoria dos números e usadas em algoritmos para números perfeitos, números amigáveis e números abundantes.
Exemplos resolvidos
Fatorar 100
Fatoração em primos: 2² × 5². Contagem de fatores: (2+1)(2+1) = 9 fatores. Todos os fatores: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Observe como quadrados perfeitos sempre têm uma contagem ímpar de fatores.
Fatorar 71 (primo)
Faça a divisão por tentativa até √71 ≈ 8,4: 2, 3, 5, 7 - nenhum divide. Então 71 é primo. Fatores: 1, 71. Fatoração em primos: apenas 71¹. Números primos sempre têm exatamente 2 fatores.
Quando usar Calculadora de Fatores
- Matemática do 5º ao 10º ano - sistema numérico, lição de casa do capítulo de divisibilidade.
- Simplificação de frações - dividir numerador e denominador por fatores comuns.
- Cálculo de MMC e MDC - a fatoração em primos é a base.
- Simplificação de raízes e radicais - √72 = √(36×2) = 6√2.
- Álgebra - fatoração de polinômios usando fatorações numéricas conhecidas.
- Criptografia - teste de coprimalidade e aritmética modular.
- Matemática recreativa - números perfeitos (soma dos fatores igual ao número), números abundantes, números deficientes.
- Otimização - design de matrizes, agrupamento de itens, programação.
Erros e armadilhas comuns
- Tratar 1 como primo. Por convenção, 1 não é primo nem composto.
- Pular o fator maior em um par. Para pares de fatores de n, liste tanto d quanto n/d.
- Esquecer de repetir primos. 60 = 2 × 2 × 3 × 5, não 2 × 3 × 5 - o 2 se repete.
- Fazer divisão por tentativa além de √n. Trabalho desnecessário; todos os pares de fatores são 'capturados' por √n.
- Contar fatores incorretamente. Use a fórmula (a+1)(b+1)(c+1)... em vez de listar todos.
Aproveite mais esta ferramenta
- Lembre-se: número de fatores = produto de (expoente+1) da fatoração em primos.
- Quadrados perfeitos sempre têm um número ímpar de fatores (porque um dos pares de fatores é a própria raiz quadrada).
- Números com muitos fatores (números altamente compostos como 12, 60, 360) são úteis para contagens de divisibilidade por muitos números.
- Para números muito grandes, use a calculadora de números baseada em BigInt deste site.
- Combine com o MMC, MDC e o verificador de primos deste site para trabalhos relacionados de teoria dos números.
Perguntas sobre Calculadora de Fatores
O que é um fator?
Um número inteiro que divide outro número inteiro sem deixar resto. 6 tem os fatores 1, 2, 3, 6.
Quantos fatores um número tem?
Se n = p₁^a₁ × … × pₖ^aₖ, a contagem é (a₁+1)(a₂+1)…(aₖ+1). Exemplo: 12 = 2²×3 tem (2+1)(1+1) = 6 fatores.
O que é o teorema fundamental da aritmética?
Todo número inteiro maior que 1 tem uma fatoração em primos única (a menos da ordem). Esta é a base da teoria dos números.
Por que a divisão por tentativa até √n é suficiente?
Se n = a × b e a > √n, então b < √n. Então todos os pares de fatores incluem pelo menos um fator ≤ √n. Ao encontrá-los, você encontrou todos os pares.
1 e o próprio número são fatores?
Sim, por convenção. Todo número inteiro positivo divide a si mesmo e é divisível por 1. Esses são chamados de fatores triviais.
Com que tamanho de número a calculadora consegue trabalhar?
Números até 2^53 (cerca de 16 dígitos) funcionam bem. Além disso, os números do JavaScript perdem precisão - use a Calculadora de Números Grandes para aritmética de precisão arbitrária em números inteiros grandes.
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