സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്നം: x² − 7x + 12 = 0
a=1, b=−7, c=12. ഡിസ്ക്രിമിനന്റ്: 49 − 48 = 1. മൂലങ്ങൾ: (7 ± 1)/2 = 4, 3. പരിശോധിക്കുക: (x−3)(x−4) = x² − 7x + 12. ✓ വെർടെക്സ്: (3.5, −0.25) - പരാബോളയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ - Free Online Calculator
ax² + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുക - യഥാർത്ഥ (real) അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണ (complex) മൂലങ്ങളോടെ. ഡിസ്ക്രിമിനന്റ്, വെർടെക്സ്, സമമിതി അക്ഷം (axis of symmetry) എന്നിവ കൂടി സോൾവർ കണക്കാക്കുകയും പരാബോള മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ തുറക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് തിരിച്ചറിയുകയും ചെയ്യുന്നു. 10-ാം ക്ലാസ് / 12-ാം ക്ലാസ് ബോർഡ് പരീക്ഷാ പരിശീലനത്തിനും, പ്രവേശന പരീക്ഷാ തയ്യാറെടുപ്പിനും, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രൊജക്ടൈൽ പ്രശ്നങ്ങൾക്കും ഉപകാരപ്രദമാണ്.
- Formula shown on the page
- Runs in your browser
- Your inputs stay private
x² − 5x + 6 = 0
Root 1
x₁ = 3
Root 2
x₂ = 2
Discriminant (Δ)
1
Δ > 0: two distinct real roots
Vertex
(2.5, -0.25)
Axis of symmetry
x = 2.5
Two distinct real roots. Parabola opens upward and crosses the x-axis at both roots.
Understanding the ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ
സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ധനകാര്യം എന്നിവയിൽ ഏറ്റവും സാധാരണയായി കാണപ്പെടുന്ന സമവാക്യ തരങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. CBSE 10-ാം ക്ലാസ് ഇവ ആഴത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു (ഫാക്ടറിംഗ്, സ്ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല എന്നിവയുൾപ്പെടെ); 11-12 ക്ലാസുകൾ സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങളിലേക്കും പരാബോളിക് ജ്യോമട്രിയിലേക്കും ചികിത്സ വ്യാപിപ്പിക്കുന്നു; JEE യും മറ്റ് മത്സര പരീക്ഷകളും ഓരോ വർഷവും ഇവ പരീക്ഷിക്കുന്നു. സ്കൂളിനപ്പുറം, ക്വാഡ്രാറ്റിക്സ് പ്രൊജക്ടൈൽ മോഷനിലും (കൈനമാറ്റിക്സ്), ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങളിലും (വെർടെക്സ് പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ മൂല്യം ആകുന്നിടത്ത്), പരാബോളിക് മിറർ, ആന്റിന ഡിസൈനിലും, ബിസിനസ്സിലെ ബ്രേക്ക്-ഈവൻ വിശകലനത്തിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.
ഈ സോൾവർ മുഴുവൻ കേസ് സെറ്റും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു - യഥാർത്ഥ വ്യത്യസ്ത മൂലങ്ങൾ, ആവർത്തിച്ച മൂലങ്ങൾ, സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങൾ - കൂടാതെ പലപ്പോഴും അതേ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഭാഗമായ അധിക കർവ് പ്രോപ്പർട്ടികളും (വെർടെക്സ്, സമമിതി അക്ഷം, പരാബോള ഓറിയന്റേഷൻ) നൽകുന്നു. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a എല്ലാ കേസിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് Δ = b² − 4ac മൂലങ്ങളുടെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കുന്നു: പോസിറ്റീവ് (രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ), പൂജ്യം (ഒരു ആവർത്തിച്ച യഥാർത്ഥ മൂലം), അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് (രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ കൺജുഗേറ്റുകൾ).
Using the ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ in 5 steps
കോ-എഫിഷ്യന്റ് a (x² ന്റെ കോ-എഫിഷ്യന്റ്) നൽകുക - ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആകാൻ പൂജ്യമല്ലാതിരിക്കണം.
കോ-എഫിഷ്യന്റ് b (x ന്റെ കോ-എഫിഷ്യന്റ്) നൽകുക.
കോ-എഫിഷ്യന്റ് c (കോൺസ്റ്റന്റ് ടേം) നൽകുക.
രണ്ട് മൂലങ്ങളും, ഡിസ്ക്രിമിനന്റും, പരാബോളയുടെ വെർടെക്സും വായിക്കുക.
ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, കാൽക്കുലേറ്റർ സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങൾ p ± qi രൂപത്തിൽ തിരികെ നൽകുന്നു.
How the ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ works
ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല എപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കും: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് b² − 4ac മൂലങ്ങളുടെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. പോസിറ്റീവ് → രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ. പൂജ്യം → ആവർത്തിച്ച ഒരു യഥാർത്ഥ മൂലം (പരാബോള x-അക്ഷത്തെ സ്പർശിക്കുക മാത്രം ചെയ്യുന്നു). നെഗറ്റീവ് → പരസ്പരം കൺജുഗേറ്റ് ആയ രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങൾ. വെർടെക്സ് കോർഡിനേറ്റുകൾ (−b/2a, c − b²/4a) ആണ്, സമമിതി അക്ഷം x = −b/2a ആണ്.
Formula
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- ax² ന്റെ കോ-എഫിഷ്യന്റ് (≠ 0 ആയിരിക്കണം)
- bx ന്റെ കോ-എഫിഷ്യന്റ്
- cകോൺസ്റ്റന്റ് ടേം
- Δഡിസ്ക്രിമിനന്റ് b² − 4ac
- Δ > 0രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ
- Δ = 0ഒരു ആവർത്തിച്ച യഥാർത്ഥ മൂലം
- Δ < 0രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ കൺജുഗേറ്റ് മൂലങ്ങൾ
How the ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ gets its answer
ax² + bx + c = 0 എന്ന പൊതു രൂപത്തിൽ സ്ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കുന്നതിലൂടെയാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല ഉരുത്തിരിയുന്നത്. a കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, c/a വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക, സ്ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കാൻ ഇരുവശത്തും (b/2a)² ചേർക്കുക, സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കുക, x ന് പരിഹരിക്കുക. ഫലം: x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a. ± രണ്ട് മൂലങ്ങളും നൽകുന്നു; സ്ക്വയർ റൂട്ടിന് താഴെയുള്ള ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് മൂലങ്ങൾ യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ എന്ന് പറയുന്നു.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് കോ-എഫിഷ്യന്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പരാബോള ജ്യോമട്രി: y = ax² + bx + c എന്ന പരാബോള a > 0 ആണെങ്കിൽ മുകളിലേക്ക് തുറക്കുന്നു (വെർടെക്സ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യമാണ്) അല്ലെങ്കിൽ a < 0 ആണെങ്കിൽ താഴേക്ക് തുറക്കുന്നു (വെർടെക്സ് പരമാവധി മൂല്യമാണ്). വെർടെക്സ് x-കോർഡിനേറ്റ് = −b/(2a). വെർടെക്സ് y-കോർഡിനേറ്റ് = c − b²/(4a). സമമിതി അക്ഷം: ലംബ രേഖ x = −b/(2a). Y-ഇന്റർസെപ്റ്റ്: y = c (x = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ). X-ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ: മൂലങ്ങൾ, യഥാർത്ഥമാണെങ്കിൽ.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുലയ്ക്ക് പുറമേ, നല്ല ഇന്റിജർ-മൂല ക്വാഡ്രാറ്റിക്സിന് ഫാക്ടറിംഗ് പലപ്പോഴും വേഗത്തിലാണ്. a = 1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ ax² + bx + c ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ: ഗുണിച്ചാൽ c ആകുന്നതും കൂട്ടിയാൽ b ആകുന്നതുമായ രണ്ട് സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക - ഇവയാണ് മൂലങ്ങൾ (ചിഹ്നം മാറ്റിയത്). ഉദാഹരണം: x² + 5x + 6: 6 ന് ഗുണിക്കുന്നതും 5 ന് കൂട്ടുന്നതുമായ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക - അത് 2 ഉം 3 ഉം ആണ്. അതിനാൽ ഫാക്ടറുകൾ (x + 2)(x + 3) ആണ്, മൂലങ്ങൾ x = −2, −3 ആണ്. കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക്-ഫോർമുല സമീപനം എപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്നു; ഫാക്ടറിംഗ് ക്ലീൻ കേസുകൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു കുറുക്കുവഴിയാണ്.
Worked examples
സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങൾ: x² + x + 1 = 0
a=1, b=1, c=1. ഡിസ്ക്രിമിനന്റ്: 1 − 4 = −3 < 0. മൂലങ്ങൾ: (−1 ± √3 i)/2 = −0.5 ± 0.866i. രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ കൺജുഗേറ്റ് മൂലങ്ങൾ; പരാബോള x-അക്ഷത്തെ ഒരിക്കലും സ്പർശിക്കുന്നില്ല.
പ്രൊജക്ടൈൽ മോഷൻ: 5m ഉയരത്തിൽ നിന്ന് 20 m/s വേഗതയിൽ മുകളിലേക്ക് എറിഞ്ഞ ബോൾ - എപ്പോൾ നിലത്ത് വീഴും?
സമവാക്യം (g=10 m/s² എടുക്കുമ്പോൾ): 5 + 20t − 5t² = 0, അല്ലെങ്കിൽ −5t² + 20t + 5 = 0. ഡിസ്ക്രിമിനന്റ്: 400 + 100 = 500. മൂലങ്ങൾ: (−20 ± √500)/(−10) ≈ 4.24 സെക്കൻഡ് (പോസിറ്റീവ് മൂലം). ഏകദേശം 4.24 സെക്കൻഡിന് ശേഷം ബോൾ നിലത്ത് വീഴുന്നു.
When to use the ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ
- 10-ാം ക്ലാസ് ഗണിതശാസ്ത്രം - ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ അധ്യായം, ബോർഡ് പരീക്ഷാ തയ്യാറെടുപ്പ്.
- 11-12 ക്ലാസ് ഗണിതശാസ്ത്രം - സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങളിലേക്കും പരാബോളിക് ജ്യോമട്രിയിലേക്കുമുള്ള വിപുലീകരണം.
- JEE Main, JEE Advanced - ക്വാഡ്രാറ്റിക്, പോളിനോമിയൽ ചോദ്യങ്ങൾ.
- NEET ഭൗതികശാസ്ത്രം - ക്വാഡ്രാറ്റിക്സിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രൊജക്ടൈൽ മോഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ.
- എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം - കൈനമാറ്റിക്സ്, ഓപ്റ്റിക്സ് (പരാബോളിക് റിഫ്ലക്ടറുകൾ), ആന്റിന ഡിസൈൻ.
- ബിസിനസ് ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ - ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രോഫിറ്റ് ഫങ്ഷനുകളിൽ പരമാവധി ലാഭം അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ ചെലവ് പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തൽ.
- കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ് - ബെസിയർ കർവുകൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് പാതകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന കൊളിഷൻ ഡിടെക്ഷൻ.
Common mistakes and gotchas
- ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആകാൻ a പൂജ്യമല്ലാതിരിക്കണം എന്നത് മറക്കുന്നത്. a = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ലീനിയർ ആണ്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ല.
- ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് കണക്കാക്കുന്നതിലെ ചിഹ്ന പിശകുകൾ. b² − 4ac ആണ്, b² + 4ac അല്ലെങ്കിൽ b² − 4c അല്ല.
- നെഗറ്റീവ് മൂലം നഷ്ടപ്പെടുത്തുന്നത്. ± രണ്ട് മൂലങ്ങളും നൽകുന്നു - പ്രശ്ന സന്ദർഭം പരിമിതപ്പെടുത്താത്തപക്ഷം (ഉദാ: സമയം നെഗറ്റീവ് ആകാൻ പാടില്ല) രണ്ടും റിപ്പോർട്ട് ചെയ്യണം.
- വെർടെക്സ് ഫോമിനെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത്. y = a(x−h)² + k ന് വെർടെക്സ് (h, k) ഉണ്ട്; y = ax² + bx + c ന് കണക്കെടുപ്പ് ആവശ്യമാണ്.
- സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങളെ 'പരിഹാരമില്ല' എന്ന് കണക്കാക്കുന്നത്. സങ്കീർണ്ണ മൂലങ്ങൾ സാധുവായ പരിഹാരങ്ങളാണ് - ഇലക്ട്രിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗിലും AC സർക്യൂട്ട് വിശകലനത്തിലും പ്രസക്തമാണ്.
Get more out of this tool
- ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുൻപ് മൂലങ്ങളുടെ സ്വഭാവം അറിയാൻ ആദ്യം ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് കണക്കാക്കുക.
- ഫാക്ടറിംഗ് പരിശീലനത്തിന്, ഫോർമുലയിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുൻപ് b യിലേക്ക് കൂട്ടുന്ന c യുടെ ഇന്റിജർ ഫാക്ടർ ജോഡികൾ ശ്രമിക്കുക.
- പ്രൊജക്ടൈൽ, സമയ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്, നെഗറ്റീവ് മൂലങ്ങൾ തള്ളിക്കളയുക - അവ ഗണിതപരമായി സാധുവാണെങ്കിലും ഭൗതികമായി അർത്ഥശൂന്യമാണ്.
- യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് തിരികെ മാറ്റിച്ചേർത്ത് നിങ്ങളുടെ മൂലങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക. രണ്ടും പൂജ്യം നൽകണം.
- അനുബന്ധ ആൾജിബ്ര ടാസ്കുകൾക്കായി ഈ സൈറ്റിലെ സയന്റിഫിക്, എക്സ്പോണന്റ്, റൂട്ട് കാൽക്കുലേറ്ററുകളുമായി ഈ കാൽക്കുലേറ്റർ ജോടിയാക്കുക.
Questions about the ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണ്?
a ≠ 0 ആയിടത്ത് ax² + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യം. "ക്വാഡ്രാറ്റിക്" എന്നത് x² ടേമിനെ പരാമർശിക്കുന്ന ലാറ്റിൻ quadratus (സ്ക്വയർ ചെയ്തത്) എന്നതിൽ നിന്നാണ്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യാ സിസ്റ്റത്തിൽ കൃത്യമായി രണ്ട് മൂലങ്ങളുണ്ട്, മൾട്ടിപ്ലിസിറ്റിയോടെ കണക്കെടുക്കുമ്പോൾ.
ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് എന്താണ്?
ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് b² − 4ac ആണ്. അതിന്റെ ചിഹ്നം സമവാക്യം പരിഹരിക്കാതെ തന്നെ മൂലങ്ങളുടെ സ്വഭാവം പറയുന്നു: പോസിറ്റീവ് → രണ്ട് യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ, പൂജ്യം → ഒരു ആവർത്തിച്ച യഥാർത്ഥ മൂലം, നെഗറ്റീവ് → രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ (യഥാർത്ഥമല്ലാത്ത) മൂലങ്ങൾ.
x² − 5x + 6 = 0 എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?
a = 1, b = −5, c = 6. ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് = 25 − 24 = 1. മൂലങ്ങൾ = (5 ± 1)/2 = 3, 2. പരിശോധിക്കുക: (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6. ✓
ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ എന്ത് ചെയ്യും?
മൂലങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണ കൺജുഗേറ്റുകളാണ്. ഉദാഹരണം x² + x + 1 = 0: ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് = 1 − 4 = −3. മൂലങ്ങൾ = (−1 ± √3 i) / 2, കാൽക്കുലേറ്റർ ഇത് −0.5 ± 0.866i ആയി കാണിക്കുന്നു.
പരാബോളയുടെ വെർടെക്സ് എന്താണ്?
y = ax² + bx + c എന്ന കർവിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന (അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന) പോയിന്റ്. അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ x = −b/2a, y = c − b²/4a ആണ്. a > 0 ആണെങ്കിൽ, പരാബോള മുകളിലേക്ക് തുറക്കുന്നു, വെർടെക്സ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യമാണ്. a < 0 ആണെങ്കിൽ, അത് താഴേക്ക് തുറക്കുന്നു, വെർടെക്സ് പരമാവധി മൂല്യമാണ്.
സമമിതി അക്ഷം എന്താണ്?
വെർടെക്സിലൂടെയുള്ള ഒരു ലംബ രേഖ. അതിന്റെ സമവാക്യം x = −b/2a ആണ്. രണ്ട് മൂലങ്ങളും (യഥാർത്ഥമാണെങ്കിൽ) ഈ രേഖയിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്.
ഇവിടെ ഒരു ലീനിയർ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാമോ?
a = 0 ആണെങ്കിൽ സമവാക്യം ലീനിയർ ആണ് (bx + c = 0), കാൽക്കുലേറ്റർ ആ കേസും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു - ഉത്തരം x = −c/b ആണ്.
മൂലങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് എങ്ങനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാം?
r₁ ഉം r₂ ഉം മൂലങ്ങളാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് a(x − r₁)(x − r₂) ആയി ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണം: മൂലങ്ങൾ 3, 2, a = 1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ → (x − 3)(x − 2) = x² − 5x + 6.
Math in your browser
From simple percentages to scientific notation, statistics, geometry and big-number arithmetic - every common math problem you'd reach for a calculator for, runs in your browser with no installs. The fraction calculator preserves exact rationals, the big-number calculator uses BigInt for hundreds of digits without precision loss, and the scientific calculator's expression evaluator is a hand-written shunting-yard parser (no eval) that supports trig, log, factorial and parentheses.
If you're a student, double-check your work without paying for a graphing calculator. If you're a professional, use these tools as a sanity check on spreadsheet formulas. Every result is shown alongside its formula and inputs, so the math is always auditable.
The ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ സോൾവർ is part of the Math suite on Online Calculator Tools, alongside 6 related calculators. All tools share the same UI patterns, the same privacy-first rendering (nothing is sent to a server), and the same commitment to showing the formula and assumptions behind every result.